ધન બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન માટેનું સૂત્ર તારવો.

(N/A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O$ પર એક બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ રહેલો છે. $Q$ થી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન એટલે અનંત અંતરેથી એકમ ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભારને બિંદુ $P$ સુધી લાવવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવું પડતું કાર્ય.
સ્થિત-વિદ્યુત બળ સંરક્ષી હોવાથી,કાર્ય માર્ગ પર આધારિત નથી. આપણે અનંતથી $P$ સુધીનો ત્રિજ્યાવર્તી માર્ગ પસંદ કરીએ છીએ.
$O$ થી $r^{\prime}$ અંતરે આવેલા કોઈ મધ્યવર્તી બિંદુ $P^{\prime}$ પર,એકમ ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર પર લાગતું સ્થિત-વિદ્યુત બળ:
$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q \times 1}{(r^{\prime})^{2}} = \frac{kQ}{(r^{\prime})^{2}}$
સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F$ ની વિરુદ્ધમાં બાહ્ય બળ $F_{ext}$ દ્વારા વિદ્યુતભારની દિશામાં $dr^{\prime}$ જેટલા સૂક્ષ્મ સ્થાનાંતર માટે કરવું પડતું કાર્ય:
$dW = F_{ext} \cdot dr^{\prime} = -F \cdot dr^{\prime} = -\frac{kQ}{(r^{\prime})^{2}} dr^{\prime}$
અનંતથી $r$ અંતર સુધી લાવવા માટે કરવું પડતું કુલ કાર્ય $W$ શોધવા માટે,આપણે આ સમીકરણનું સંકલન કરીએ:
$W = \int_{\infty}^{r} -\frac{kQ}{(r^{\prime})^{2}} dr^{\prime}$
$W = -kQ \int_{\infty}^{r} (r^{\prime})^{-2} dr^{\prime}$
$W = -kQ \left[ -\frac{1}{r^{\prime}} \right]_{\infty}^{r}$
$W = kQ \left[ \frac{1}{r} - \frac{1}{\infty} \right] = \frac{kQ}{r}$
વિદ્યુતસ્થિતિમાનની વ્યાખ્યા મુજબ $V = \frac{W}{q_{0}}$ અને $q_{0} = 1 \text{ C}$ હોવાથી:
$V(r) = \frac{kQ}{r} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{r}$